1888年9月6日，具有世界权威的德国哥廷根科学会的《通讯》杂志上刊登了一个消息，宣告10多年来许多国家的数学家都未
能解决的著名数学难题——果尔丹问题，竟被德国哥尼斯堡大学年仅26岁的讲师希尔伯特攻克了。人们惊叹他出人意料地开辟了一条全新的途径，就象亚历山大解开果底亚斯结一样。
1862年1月23日下午，在德国滨海城市哥尼斯堡这座富于学术传统的城市里，又诞生了一个天才人物——大卫·希尔伯特。大卫·希尔伯特的父亲是一名法官，注重教育儿子具有普鲁士的美德：准时、节俭、信守义务、勤奋、遵纪守法。母亲玛丽亚是一个不同凡俗的女人，对哲学和天文学饶有兴趣，尤其对素数着迷。希尔伯特的成长深受母亲的影响，早在中学时代，他就爱上了数学，并把数学作为自己终身奋斗的专业。
1880年秋，希尔伯特不顾父亲的坚决反对，进人家乡具有优良科学传统的哥尼斯堡大学哲学系攻读数学．经过整整8个学期的奋发学习，他开始向博士学位进军了。选择什么题目来做学位论文呢？希尔伯特期望通过这项工作，做出某种创造性的成果贡献给数学，以便给自己正式涉足数学王国争取一张合格的入场券。导师林德曼向他提议：为什么不选一个代数不变量理论中的问题做呢？
代数不变量理论是当时数学界非常热门的课题，林德曼建议希尔伯特做的博士论文题目是关于某些代数形式的不变性质问题，它既难而又不是没有希望解决。希尔伯特显示了创造才能，他选择了一条独出心裁的道路来证明这个问题，和一般人想象能引出结果的办法都不相同。这使导师十分满意。
1885年2月，希尔伯特以优秀的答辩顺利地通过了公开的晋级仪式，被授予哲学博士学位。家人和朋友们热烈地庆贺并没有使他满足，他默默地思考着前进路上新的奋斗目标。为了继续进行创造性的数学研究，希尔伯特在完成一次学习旅行，广泛接触了莱比锡、巴黎、哥廷根的数学名家之后，便决意向自己很感兴趣的不变量理论继续冲击。他的目标是攻克该理论中最著名的问题——“果尔丹问题”。
10多年前，德国著名的数学家，“不变量之王”果尔丹曾提出一个问题：在某种代数形式下，能否由有限个“基本的”不变量产生所有的不变量？许多优秀的数学家都没能给出完整的证明。希尔伯特看准了它并全心全意地迷恋着它，认为果尔丹问题是一个重大的富有成效的问题，因为它能“唤起自己那种几乎无法思议的完美想象力”。在这段日子里，果尔丹问题日夜陪伴着他。陪他北上哥廷根、柏林等地访问许多著名数学家，陪他工作、休息、娱乐，包括在他最喜欢的舞会上。
经过日夜勤奋的思索，1888年9月，希尔伯特又一次运用自己独持的思维方法，成功地完成了果尔丹问题的证明，以往证明这个问题的传统方法是：力图寻找或构造出能产生所有不变量的“有限个基本的”不变量形式。但希尔伯特却采用逻辑的必然性法证明“这有限个基本的”不变量是必定存在的。这种用存在性证明代替构造性证明来解决问题的办法，无疑是数学研究中富于独创的思想方法。这正是希尔伯特后来创立数学基础中形式主义学派的方法论前提。
希尔伯特的证明轰动了整个数学界，也招致了一些数学权威的攻击。人们似乎无法理解这种方法的合理性：“没有构造怎能算是存在呢？”果尔丹本人也大声疾呼：“这不是数学，这是神学。”林德曼认为自己学生的这种方法是“令人不快、有害、古怪的。”希尔伯特努力向那些看不懂他的证明过程的数学家解释。他坚持这样的观点：“在数学上，只要能证明一个概念的属性绝不会引出矛盾，那么这个概念在数学上的存在自然就确定了。”他还指出：禁止这种存在性证明，就等于废弃数学科学。
两年以后，人们才渐渐认识并接受了他的工作所产生的革命性影响。人们认为，他在不变量方面工作的基本意义就在于把算术方法应用于代数问题。不久，当果尔丹本人也得出了关于希尔伯特这个定理的另一种证法后，他便坦率地承认自己以前的反对是极其错误的，因为他此项的成功是利用了希尔伯特的成果，他庄重地宣告：希尔伯特的证明是完全正确的。
使用存在性方法，是数学方法论的一场重要革命，其意义远远超过了果尔丹问题的本身。从这以后，希尔伯特，一个极其普通的青年讲师，在学术界的地位便显著了。
1900年8月8日，新世纪来临后的第一个盛夏。在巴黎大学小山上的讲演大厅里，正举行国际数学家第二次代表大会。在这样一个国际数学界的最高级会议上，希尔伯特作为全世界最具名望的数学家，应邀作展望20世纪数学未来的演讲。
希尔伯特的这份经过半年精心准备的演讲稿长达40页，总共列出23个问题，预示了新世纪整个数学学科的发展方向。为了尽量缩短演讲的时间，他只选出其中10个问题作了解说。最后，他以充满激情的、精辟的、鼓舞人心的一段话结束了整个演讲。他说：“以上提出的问题只不过是一些例子，但它们已经充分显示出今日的数学科学是何等丰富多采，何等范围广阔！我们面临这样的问题：数学会不会遭到象其他有些学科那样的厄运，被分割成许多孤立的分支，它们的代表人物很难互相理解，它们的关系变得更松懈了？我不相信会有这样的情况。我认为，数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系……我们还注意到，数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加调和一致，并且这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。因此，随着数学的发展，它的有机的特性不会丧失，只会更清楚地呈现出来。对于单个的数学工作者来说，只要掌握了这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其他科学更容易地找到前进的道路。
数学是一切精确自然科学知识的基础，为了圆满实现这个崇高的目标，让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热忱的信徒吧！”
关于20世纪数学发展方向的这次历史性演讲，激发了当时整个数学界的想象力。人们普遍认为，一个数学工作者只要解决了这次巴黎演讲中23个问题中的任何一个，都是对数学科学的一个重大贡献。而随着这些问题的解决，必将大大推动20世纪数学的发展。诚如希尔伯特的好友，著名数学家闵可夫斯基所预料的那样，这次演讲成了新世纪数学发展的指南。
巴黎会议之后，希尔伯特并没有停止自己的研究，而是把大量时间用于探讨、分析问题（如数学分析、泛函分析等）。尽管从1 2年前攻克果尔丹问题开始，他已拥有一连串胜利的记录：关于不变量理论研究；类域论计划；几何基础；狄里克莱原理的起死回生；变贫学的重要定理等等。几乎所有的主要数学领域都留下他开拓性的创造业绩。
在一片起伏平缓的绿色丘陵地，哥廷根的红瓦屋顶显得分外夺目。自从1895年3月希尔伯特来这里担任教授之后，哥廷根的数学实力重新引起人们的重视。在数学神殿中赢得了与阿基米德和牛顿同等地位的高斯，是哥廷根的伟大科学传统的开创者，而希尔伯特为哥廷根增加的光荣并不少于100年前的高斯。
在哥廷根，希尔伯特主持的数学讨论班吸引了世界各地的数学家们。作为一个真正的数学教育家，他的讲课内容和方式非常吸引学生，经常有好几百人挤在大厅里听他的课，许多人甚至坐在窗台上。本世纪许多著名的数学家、物理学家，诸如维纳、冯·诺依曼、玻尔、玻恩等人，都亲聆过希尔伯特的教导。
由于希尔伯特，哥廷根播下的数学种子到处开花结果。到1930年，68岁的希尔伯特从他担任了35年的哥廷根教授的职位上退休时，培养的学生已达到上千人，其中著名的数学家达几十人之多。1943年，希尔伯特与世长辞，享年82岁。
1962年1月，在希尔伯特诞生100周年的纪念会上，当代著名数学家库朗对他评价时说：“即使只是粗略地评价象希尔伯特这样一位有多方面伟大贡献的人物也是不可能的．但是我感到，对今天的数学和数学家来说，领悟希尔伯特的精神却有着巨大的现实意义。”“希尔伯特以他感人的榜样向我们证明：在纯粹数学和应用数学之间并不存在鸿沟，数学和科学总体之间，能够建立起果实丰满的结合体。唯有希尔伯特的精神，才会引导数学继往开来，不断成功。”
